Proměnná (matematika) - Variable (mathematics)

v matematika, a proměnná je symbol, který funguje jako zástupný symbol pro různé výrazy nebo množství, a často se používá k reprezentaci libovolného prvku a soubor. Navíc čísla, proměnné se běžně používají k reprezentaci vektory, matice a funkce.^[1][2]

Tvorba algebraické výpočty s proměnnými, jako by šlo o explicitní čísla, umožňuje vyřešit řadu problémů v jediném výpočtu. Typickým příkladem je kvadratický vzorec, což umožňuje vyřešit každý kvadratická rovnice —Jednoduše nahrazením číselných hodnot koeficientů dané rovnice proměnnými, které je představují.

v matematická logika, a proměnná je buď symbol představující nespecifikovaný období teorie (tj. meta-proměnná ), nebo základní předmět teorie - který je manipulován, aniž by odkazoval na jeho možný intuitivní výklad.

Etymologie

„Proměnná“ pochází z latinského slova, variābilis„s“vari (nás)„“ znamená „různé“ a „-ābilis„“ znamená „-able“, což znamená „schopný změny“.^[3]

Geneze a vývoj konceptu

V 7. století Brahmagupta použil různé barvy k reprezentaci neznámých v algebraických rovnicích v Brāhmasphuṭasiddhānta. Jedna část této knihy se nazývá „Rovnice několika barev“.^[4]

Na konci 16. století François Viète představil myšlenku reprezentace známých a neznámých čísel pomocí písmen, dnes nazývaných proměnné, a myšlenku počítat s nimi, jako by to byla čísla - za účelem získání výsledku jednoduchou náhradou. Viète konvence měla používat souhlásky pro známé hodnoty a samohlásky pro neznámé.^[5]

V roce 1637 René Descartes "vynalezl konvenci reprezentace neznámých v rovnicích pomocí X, y, a za známé od A, b, a C".^[6] Na rozdíl od Vièteho konvence se Descartes stále běžně používá.

Počínaje šedesátými léty, Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz nezávisle vyvinul nekonečně malý počet, který v podstatě spočívá ve studiu, jak infinitezimální variace a variabilní množství indukuje odpovídající variaci jiné veličiny, která je a funkce první proměnné. Téměř o sto let později Leonhard Euler opravil terminologii nekonečně malého počtu a zavedl notaci y = F(X) pro funkci F, své proměnná X a jeho hodnota y. Až do konce 19. století slovo proměnná odkazoval téměř výlučně na argumenty a hodnoty funkcí.

Ve druhé polovině 19. století se ukázalo, že základ nekonečně malého počtu nebyl dostatečně formován, aby se vypořádal se zjevnými paradoxy, jako je nikde rozlišitelný spojitá funkce. Chcete-li tento problém vyřešit, Karl Weierstrass představil nový formalismus spočívající v nahrazení intuitivního pojmu omezit formální definicí. Starší pojem limitu byl „když proměnná X se mění a inklinuje k A, pak F(X) inklinuje k L", bez jakékoli přesné definice„ tendencí ". Weierstrass nahradil tuto větu vzorcem

${displaystyle (forall epsilon> 0) (existuje eta> 0) (forall x); | x-a |$

ve kterém žádná z pěti proměnných není považována za proměnlivou.

Tato statická formulace vedla k modernímu pojetí proměnné, která je jednoduše symbolem představujícím a matematický objekt že buď není znám, nebo může být nahrazen jakýmkoli prvkem daného soubor (např. sada reálná čísla ).

Specifické druhy proměnných

Je běžné, že proměnné hrají různé role ve stejném matematickém vzorci a pro jejich rozlišení byly zavedeny názvy nebo kvalifikátory. Například generál kubická rovnice

${displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}$

je interpretováno jako mající pět proměnných: čtyři, A, b, C, d, která jsou považována za čísla a pátou proměnnou, X, se chápe jako neznámý číslo. K jejich rozlišení proměnná X je nazýván neznámýa jsou volány další proměnné parametry nebo koeficienty, nebo někdy konstanty, ačkoli tato poslední terminologie je pro rovnici nesprávná, a měla by být vyhrazena pro funkce definováno na levé straně této rovnice.

V kontextu funkcí pojem proměnná obecně odkazuje na argumenty funkcí. To je obvykle případ vět jako „funkce reálné proměnné ", "X je proměnná funkce F: X ↦ F(X)", "F je funkce proměnné X"(což znamená, že na argument funkce odkazuje proměnná." X).

Ve stejném kontextu jsou proměnné nezávislé na X definovat konstantní funkce a proto se nazývají konstantní. Například a konstanta integrace je libovolná konstantní funkce, která je přidána k určitému primitivní k získání dalších antiderivativ. Protože silný vztah mezi polynomy a polynomiální funkce, termín "konstantní" se často používá k označení koeficientů polynomu, což jsou konstantní funkce neurčitých.

Toto použití „konstanty“ jako zkratky „konstantní funkce“ je třeba odlišit od běžného významu slova v matematice. A konstantnínebo matematická konstanta je dobře a jednoznačně definované číslo nebo jiný matematický objekt, například čísla 0, 1, π a prvek identity a skupina.

Další konkrétní názvy proměnných jsou:

• An neznámý je proměnná v rovnice který musí být vyřešen pro.
• An neurčitý je symbol, běžně nazývaný proměnná, který se objevuje v a polynomiální nebo a formální mocenské řady. Formálně vzato, neurčitý není proměnná, ale a konstantní v polynomiální kruh nebo prsten z formální mocenské řady. Kvůli silnému vztahu mezi polynomy nebo výkonovými řadami a funkce které definují, mnoho autorů považuje neurčité za zvláštní druh proměnných.
• A parametr je veličina (obvykle číslo), která je součástí zadání problému a zůstává konstantní během celého řešení tohoto problému. Například v mechanika hmotnost a velikost pevného těla jsou parametry pro studium jeho pohybu. v počítačová věda, parametr má jiný význam a označuje argument funkce.
• Volné proměnné a vázané proměnné
• A náhodná proměnná je druh proměnné, která se používá v teorie pravděpodobnosti a jeho aplikace.

Všechny tyto nominální hodnoty proměnných jsou sémantický příroda a způsob jejich výpočtu (syntax ) je stejný pro všechny.

Závislé a nezávislé proměnné

v počet a jeho aplikace na fyzika a jiné vědy, je poměrně běžné uvažovat o proměnné, řekněme y, jejíž možné hodnoty závisí na hodnotě jiné proměnné, řekněme X. Z matematického hlediska je závislý proměnná y představuje hodnotu a funkce z X. Pro zjednodušení vzorců je často užitečné použít stejný symbol pro závislou proměnnou y a mapování funkcí X na y. Například stav fyzického systému závisí na měřitelných veličinách, jako je tlak, teplota, prostorová poloha, ... a všechna tato veličina se mění, když se systém vyvíjí, to znamená, že jsou funkcí času. Ve vzorcích popisujících systém jsou tyto veličiny reprezentovány proměnnými, které jsou závislé na čase, a jsou tedy implicitně považovány za funkce času.

Proto ve vzorci a závislá proměnná je proměnná, která je implicitně funkcí jiné (nebo několika dalších) proměnných. An nezávislé proměnné je proměnná, která není závislá.^[7]

Vlastnost proměnné být závislá nebo nezávislá často závisí na úhlu pohledu a není vnitřní. Například v notaci F(X, y, z), tři proměnné mohou být všechny nezávislé a notace představuje funkci tří proměnných. Na druhou stranu, pokud y a z záleží na X (jsou závislé proměnné) pak notace představuje funkci singlu nezávislé proměnné X.^[8]

Příklady

Pokud jeden definuje funkci F z reálná čísla na reálná čísla o

${displaystyle f (x) = x ^ {2} + sin (x + 4)}$

pak X je proměnná pozice pro argument definované funkce, což může být jakékoli reálné číslo. V identitě

${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i = {frac {n ^ {2} + n} {2}}}$

proměnná i je součtová proměnná, která označuje každé z celých čísel 1, 2, ..., n (také se tomu říká index protože jeho variace je nad diskrétní sadou hodnot) while n je parametr (ve vzorci se neliší).

V teorii polynomy, polynom stupně 2 se obecně označuje jako sekera² + bx + C, kde A, b a C jsou nazývány koeficienty (předpokládá se, že jsou pevné, tj. parametry uvažovaného problému) while X se nazývá proměnná. Při studiu tohoto polynomu pro jeho polynomiální funkce tento X znamená argument funkce. Když studujete polynom jako objekt sám o sobě, X je považován za neurčitý a místo tohoto stavu by byl často psán velkým písmenem.

Zápis

V matematice jsou proměnné obecně označeny jedním písmenem. Za tímto písmenem však často následuje dolní index, jako v X₂, a tímto dolním indexem může být číslo, jiná proměnná (X_i), slovo nebo zkratka slova (X_v a X_ven), a dokonce a matematické vyjádření. Pod vlivem počítačová věda, v čisté matematice se můžeme setkat s některými názvy proměnných skládajícími se z několika písmen a číslic.

Po francouzském filozofovi a matematikovi ze 17. století René Descartes, písmena na začátku abecedy, např. A, b, C se běžně používají pro známé hodnoty a parametry a písmena na konci abecedy, např. X, y, z, a t se běžně používají pro neznámé a proměnné funkcí.^[9] V tištěné podobě matematika, normou je nastavení proměnných a konstant v kurzíva.^[10]

Například obecná kvadratická funkce je běžně psána jako:

${displaystyle ax ^ {2} + bx + c ,,}$

kde A, b a C jsou parametry (nazývají se také konstanty, protože jsou konstantní funkce ), zatímco X je proměnná funkce. Explicitnější způsob označení této funkce je

${displaystyle xmapsto ax ^ {2} + bx + c ,,}$

což činí stav argumentu funkce X jasné, a tím implicitně stálý stav A, b a C. Od té doby C se vyskytuje v termínu, který je konstantní funkcí X, nazývá se to konstantní termín.^[11]:18

Specifické obory a aplikace matematiky mají obvykle specifické konvence pojmenování pro proměnné. Proměnným s podobnými rolemi nebo významy se často přiřazují po sobě jdoucí písmena. Například tři osy ve 3D souřadnicový prostor se běžně nazývají X, y, a z. Ve fyzice jsou názvy proměnných do značné míry určeny Fyzické množství popisují, ale existují různé konvence pojmenování. Konvence často následovala pravděpodobnost a statistika je použít X, Y, Z pro jména náhodné proměnné, vedení X, y, z pro proměnné představující odpovídající skutečné hodnoty.

Existuje mnoho dalších značkových použití. Proměnné, které hrají podobnou roli, jsou obvykle reprezentovány po sobě jdoucími písmeny nebo stejným písmenem s různými dolní index. Níže uvádíme některé z nejběžnějších způsobů použití.

• A, b, C, a d (někdy rozšířeno na E a F) často představují parametry nebo koeficienty.
• A₀, A₁, A₂, ... hrají podobnou roli, když by jinak bylo potřeba příliš mnoho různých písmen.
• A_i nebo u_i se často používá k označení i-tý termín a sekvence nebo i-tý koeficient a série.
• F a G (někdy h) běžně označují funkce.
• i, j, a k (někdy l nebo h) se často používají k označení různých celá čísla nebo indexy v indexovaná rodina. Mohou být také použity k označení jednotkové vektory.
• l a w se často používají k vyjádření délky a šířky postavy.
• l se také používá k označení řádku. V teorii čísel l často označuje prvočíslo, které se nerovná p.
• n obvykle označuje pevné celé číslo, například počet objektů nebo stupeň rovnice.
  • Když jsou zapotřebí dvě celá čísla, například pro rozměry a matice, jeden používá běžně m a n.
• p často označuje a prvočísla nebo a pravděpodobnost.
• q často označuje a hlavní síla nebo a kvocient
• r často označuje a poloměr, a zbytek nebo a korelační koeficient.
• t často označuje čas.
• X, y a z obvykle označují tři Kartézské souřadnice bodu v Euklidovská geometrie. Podle rozšíření se používají k pojmenování odpovídajících sekery.
• z obvykle označuje a komplexní číslo, nebo ve statistikách a normální náhodná proměnná.
• α, β, y, θ a φ běžně označovat úhel opatření.
• ε obvykle představuje libovolně malé kladné číslo.
  • ε a δ běžně označují dvě malá pozitiva.
• λ se používá pro vlastní čísla.
• σ často označuje součet, nebo, ve statistikách, standardní odchylka.

Viz také

• Konstanta integrace
• Konstantní člen polynomu
• Volné proměnné a vázané proměnné (Vázané proměnné jsou také známé jako fiktivní proměnné)
• Neurčitý (variabilní)
• Lambda kalkul
• Matematické vyjádření
• Pozorovatelná proměnná
• Fyzická konstanta
• Proměnná (informatika)

Bibliografie

• J. Edwards (1892). Diferenciální počet. London: MacMillan and Co. pp.1 ff.
• Karl Menger, „O proměnných v matematice a v přírodních vědách“, British Journal for the Philosophy of Science 5: 18: 134–142 (srpen 1954) JSTOR  685170
• Jaroslav Peregrin, "Proměnné v přirozeném jazyce: Odkud pocházejí? ", M. Boettner, W. Thümmel, eds., Variabilní sémantika, 2000, s. 46–65.
• W.V. Quine, "Proměnné vysvětleny pryč ", Sborník americké filozofické společnosti 104:343–347 (1960).

Reference